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Einführung

Kalender, sofern sie sich nicht wie die religiös-rechtliche islamische Zeitrechnung direkt am Stand der Gestirne orientieren, folgen mathematischen Gesetzen. Diese Gesetzmäßigkeiten auszuloten, festzustellen, in welchen Abständen sich gewisse Konstellationen wiederholen, Zyklen zu berechnen, dies alles kann großen Spaß machen. Darüber hinaus können derartige Spielereien aber auch Zusammenhänge aufzeigen und Regeln erklären, die ansonsten nur recht umständlich darzustellen wären. So sollen die folgenden Ausführungen zu dem Zyklus des Osterfestes einiges von dem, was bereits an anderer Stelle ausführlicher behandelt wurde, noch einmal anschaulich machen.

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Ostern nach dem alten Stil

Im julianischen Kalender folgt auf drei Gemeinjahren von je 365 Tagen ein Schaltjahr von 366 Tagen. Nach vier mal sieben gleich 28 Jahren wird jedes Datum wieder auf den gleichen Wochentag zu liegen kommen. Wie leicht zu beweisen ist, wird in diesem Zeitraum jedes Datum gleich oft, also vier mal, auf den gleichen Wochentag fallen, ausgenommen natürlich den 29. Februar, der ja nur sieben mal vorkommt und dabei immer auf einen anderen Wochentag fällt.

Der Osterberechnung liegt ein neunzehnjähriger Zyklus zugrunde. Der 14. Nisan, der rechnerische "Ostervollmond", kann auf 19 verschiedene Daten zwischen dem 21. März und dem 18. April fallen. Da das kleinste gemeinsame Vielfache von vier, sieben und 19 gleich 532 ist, hat der julianische Osterzyklus eine Dauer von 532 Jahren. Dabei liegt der 14. Nisan gleich häufig, also je 28 mal auf dem gleichen Datum. Nach dem oben Gesagten wird dabei jeder Wochentag gleich häufig, also vier mal vorkommen. 28 mal wird also der 14. Nisan auf den 21. März fallen, vier mal wird dieser Tag ein Samstag sein, so daß der folgende Sonntag der 22. März der Ostersonntag sein wird, viermal wird dieser Tag ein Freitag sein, so daß Sonntag der 23. März Ostern sein wird u.s.w.

Die folgende Liste zeigt die Verteilung von Ostern nach dem alten Stil:

   Datum   Zahl   in %       Datum  Zahl   in %      Datum   Zahl  in %
   22.3.:    4   0.75       3.4.:   20   3.76     15.4.:   16   3.01
   23.3.:    8   1.50       4.4.:   16   3.01     16.4.:   20   3.76
   24.3.:    8   1.50       5.4.:   20   3.76     17.4.:   16   3.01
   25.3.:   12   2.26       6.4.:   20   3.76     18.4.:   16   3.01
   26.3.:   16   3.01       7.4.:   16   3.01     19.4.:   20   3.76
   27.3.:   16   3.01       8.4.:   20   3.76     20.4.:   16   3.01
   28.3.:   20   3.76       9.4.:   16   3.01     21.4.:   12   2.26
   29.3.:   16   3.01      10.4.:   16   3.01     22.4.:   12   2.26
   30.3.:   16   3.01      11.4.:   20   3.76     23.4.:    8   1.50
   31.3.:   20   3.76      12.4.:   16   3.01     24.4.:    8   1.50
    1.4.:   16   3.01      13.4.:   16   3.01     25.4.:    4   0.75
    2.4.:   16   3.01      14.4.:   20   3.76     26.4.:    0   0.00

Noch deutlicher werden die Zusammenhänge, wenn man sich die nachstehende Tabelle anschaut:

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Tabelle I.: Verteilung der Ostertermine, alter Stil (Zyklus 532 Jahre)

In der 1. Spalte ist hier die "Goldene Zahl" zu sehen. Die 2. Spalte zeigt die jeweilige Epakte. In der folgenden Spalte, "Datum" überschrieben, findet sich das Datum des 14. Nisan für die jeweilige Epakte. Im Anschluss daran die Daten vom 21. März bis zum 26. April.
Die Tabelle ist wie folgt zu lesen: Zur Goldenen Zahl 16 gehört die Epakte XV. Der 14. Nisan, der "Ostervollmond" liegt dann auf dem 21. März. Fällt der 14. Nisan auf den 21. März, gekennzeichnet durch "*" so liegt Ostern auf einem der folgenden 7 Tage, jeweils vier mal in 532 Jahren auf dem 22.3., 23.3., 24.3., u.s.w.
Zählt man diese Zahlen zusammen, so kann man die Häufigkeit des Osterfestes für ein bestimmtes Datum leicht ablesen.

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Ostern nach dem neuen Stil

Im reformierten Kalender fallen gegenüber dem julianischen Stil in vier Jahrhunderten drei Schalttage aus. Der Schaltzyklus beträgt somit 400 Jahre, das sind 400 * 365.25 - 3 gleich 146097 Tage. Da sich diese Zahl ohne Rest durch sieben teilen läßt, entspricht dieser Zeitraum 20.871 vollen Wochen. Nach vier gregorianischen Jahrhunderten wird folglich jedes Datum wieder auf den gleichen Wochentag fallen.

Da sich 400 nicht ohne Rest durch sieben teilen läßt, kann nicht - wie beim julianischen Kalender - jedes Datum gleich häufig auf den selben Wochentag fallen. So liegt der 21. März, der früheste Termin für den 14. Nisan, - dem zyklischen "Ostervollmond"-, innerhalb von 400 Jahren 56 mal auf einem Sonntag, 58 mal auf einem Montag u.s.w. Die folgende Liste zeigt die Verteilung der Wochentage innerhalb eines Zyklus von 400 Jahren an einigen auserwählten Daten:

   21. März          22. März            23. März            24. März

   Sonntag:    56    Sonntag:    58      Sonntag:    57      Sonntag:    57
   Montag:     58    Montag:     56      Montag:     58      Montag:     57
   Dienstag:   56    Dienstag:   58      Dienstag:   56      Dienstag:   58
   Mittwoch:   58    Mittwoch:   56      Mittwoch:   58      Mittwoch:   56
   Donnerstag: 57    Donnerstag: 58      Donnerstag: 56      Donnerstag: 58
   Freitag:    57    Freitag:    57      Freitag:    58      Freitag:    56
   Samstag:    58    Samstag:    57      Samstag:    57      Samstag:    58

   25. März          26. März            27. März            28. März

   Sonntag:    58    Sonntag:    56      Sonntag:    58      Sonntag:    56
   Montag:     57    Montag:     58      Montag:     56      Montag:     58
   Dienstag:   57    Dienstag:   57      Dienstag:   58      Dienstag:   56
   Mittwoch:   58    Mittwoch:   57      Mittwoch:   57      Mittwoch:   58
   Donnerstag: 56    Donnerstag: 58      Donnerstag: 57      Donnerstag: 57
   Freitag:    58    Freitag:    56      Freitag:    58      Freitag:    57
   Samstag:    57    Samstag:    58      Samstag:    56      Samstag:    58 u.s.w.

Nach den Bestimmungen von Papst Gregor XIII. aus dem Jahre 1582 schreitet im gregorianischen Osterzyklus die Epakte in 2500 Jahren um acht Tage nach vorne, gleichzeitig durch den Ausfall von Schalttagen in 400 Jahren um drei Tage zurück. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 400 und 2.500 ist 10.000. In zehn Jahrtausenden verschiebt sich die Epakte um 43 - 30 gleich 13 Tage. Erst in 30 * 10.000 gleich 300.000 Jahren wird man zum Ausgangspunkt zurückgekehrt sein. Berücksichtigt man noch den 19jährigen Zyklus zur Bestimmung des 14. Nisan, so kommt man zu dem Ergebnis, daß sich die Folge der Ostersonntage erst nach 5.700.000 Jahren wiederholt.

Der 14. Nisan kann nach dem neuen Stil auf jedes Datum zwischen dem 21. März und dem 19. April fallen. Er wird insgesamt in diesen 5.700.000 Jahren je 190.000 mal auf das gleiche Datum treffen. 190.000 Jahre sind 475 * 400 Jahre. Kommt nun der 14. Nisan in 5.700.000 Jahren 190.000 mal auf den 21. März, so wird dies nach den oben gemachten Ausführungen in 58 * 475 gleich 27.550 Jahren ein Samstag sein. Ostersonntag liegt also in einem Zyklus 27.550 mal am 22. März.

Allerdings sind bei diesen Rechnungen die Ausnahmeregeln noch nicht berücksichtigt. Im alten Stil war das spätest mögliche Datum für den "Ostervollmond" der 18. April. Der späteste Ostertermin war somit der 25. April. Nach den neuen Vorschriften kann nun aber auch Epakte XXIV auftreten. Regulär fiele dann der 14. Nisan auf den 19. April. Dies würde dazu führen, daß in seltenen Fällen Ostersonntag am 26. April ist. Da man dies für nicht zulässig erachtete, legte man Epakte XXIV auf den 18. April. Ist der 19. April ein Wochentag, so ändert sich nichts am Ostertermin, ist er jedoch ein Sonntag, so ist Ostern an eben diesem Sonntag, allerdings wird nun formal nicht gegen die alten Bestimmungen verstoßen. Daß zwei Epakten auf den gleichen Tag fallen, kommt auch an anderen Stellen im Kalendarium vor. Es gibt ja einerseits insgesamt 30 Epakten, andererseits in jedem Jahr mindestens sechs Mondmonate mit 29 Tagen. Volle und hohle Monate sollen sich ablösen. Der im Januar und der im März beginnende Mondmonat wurde schon immer als 30tägig angesehen, der im Februar beginnende als 29tägig. Von diesen überkommenen Regeln wollte man nicht abweichen. Die Verlegung von Epakte XXIV auf den 18. April schuf ein weiteres Problem. Es kann geschehen, daß in einem Zyklus sowohl Epakte XXIV wie auch Epakte XXV vorkommen. Beide Male wäre der 14. Nisan am 18. April gewesen, was natürlich kein neunzehnjähriger Zyklus mehr ist. Man verfiel nun auf folgenden Ausweg: Epakte XXV wurde zweigeteilt in eine Epakte XXV am 18. April und eine Epakte 25 am 17. April. Immer dann, wenn im gleichen Zyklus sowohl Epakte XXV wie auch Epakte XXIV vorkommen, ist Epakte 25 anstelle Epakte XXV zu nehmen. Dies geschieht in 8 von 19 Fällen.

Die folgende Liste zeigt die Verteilung der Ostertermine auf die verschiedenen Daten innerhalb eines Zyklus von 5.700.000 Jahren:

   Datum      Zahl    in %       Datum     Zahl    in %      Datum     Zahl    in %
   22.3.:   27.550   0.48       3.4.:  192.850   3.38     15.4.:  192.850   3.38
   23.3.:   54.150   0.95       4.4.:  186.200   3.27     16.4.:  186.200   3.27
   24.3.:   81.225   1.43       5.4.:  192.850   3.38     17.4.:  192.850   3.38
   25.3.:  110.200   1.93       6.4.:  189.525   3.33     18.4.:  197.400   3.46
   26.3.:  133.000   2.33       7.4.:  189.525   3.33     19.4.:  220.400   3.87
   27.3.:  165.300   2.90       8.4.:  192.850   3.38     20.4.:  189.525   3.33
   28.3.:  186.200   3,27       9.4.:  186.200   3.27     21.4.:  162.450   2.85
   29.3.:  192.850   3.38      10.4.:  192.850   3.38     22.4.:  137.750   2.42
   30.3.:  189.525   3.33      11.4.:  186.200   3.27     23.4.:  106.400   1.87
   31.3.:  189.525   3.33      12.4.:  192.850   3.38     24.4.:   82.650   1.45
    1.4.:  192.850   3.38      13.4.:  189.525   3.33     25.4.:   42.000   0.74
    2.4.:  186.200   3.27      14.4.:  189.525   3.33     26.4.:        0   0.00

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Tabelle II.: Verteilung der Ostertermine, neuer Stil ( ohne Berücksichtigung der Ausnahmeregelungen)

Diese Tabelle II zeigt, wie die soeben genannten Zahlen zustande gekommen sind. Allerdings werden die Ausnahmeregelungen - die Spaltung der Epakte XXV - noch nicht berücksichtigt. Sie ist ähnlich zu lesen wie Tabelle I. Auf den 26. April würde innerhalb von 5.700.000 Jahren gleich oft Ostern fallen wie auf den 22. März, nämlich 27.550 mal.

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Tabelle III.: Verteilung der Ostertermine, neuer Stil (Ausnahmeregelung bei Epakte XXIV und XXV, Zyklus: 5.700.000 Jahre)

Die folgende Tabelle III ist eine Wiederholung von Tabelle II, allerdings werden nun die Ausnahmeregelungen berücksichtigt. Die Tabelle ist daher gespalten. in 11 von 19 Fällen ist die obere Tabelle zu nehmen, in 8 von 19 Fällen die untere Tabelle. (Vom Abdruck der ersten 20 Reihen wurde abgesehen, hier gibt es keine Veränderung gegenüber Tabelle II.
Nun werden die Auswirkungen der Sonderregeln klar: Die auf den 26. April fallenden Ostersonntage werden auf den 19. April verlegt. Daher erhöht sich die Zahl der Ostern an diesem Datum von rein rechnerisch 192.850 auf 220.400. Die zweite Ausnahme, derzufolge Ostern in acht von neunzehn Fällen, in denen es eigentlich auf den 25. April zu liegen kommt, auf den 18. April zu verschieben ist, bewirkt, daß die Zahl von Ostern am 25. April sich dadurch von rechnerisch 53.200 um 11 200 auf 42 000 verringert, während sich gleichzeitig die Ostertermine am 18. April von 186.200 auf 197.400 erhöhen.

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Tabelle IV: Osterdaten, Epakte 25 und XXV

Es bleibt noch zu klären, unter welchen Bedingungen Epakte XXIV und Epakte XXV im gleichen Zyklus auftreten, wann also Epakte 25 anstelle von Epakte XXV zu nehmen ist. In den Erläuterungen zur päpstlichen Bulle heißt es hierzu: "Quotiescumque enim Epacta 25. respondat aureis numeris majoribus quam 11., quales sunt posteriores octo a 12. usque ad 19., sumenda est in Kalendario Epacta 25. vulgari numero scripta: Quando vera eadem Epacta respondet minoribus numeris, quam 12., quales sunt priores undecim ab 1. ad 11. inclusive, accipienda est in Kalendario Epacta XXV. antiquo numero scripta." Einen theoretisch-mathematischen Beweis hierfür zu erbringen ist sicherlich möglich, augenscheinlich wird dieser Zusammenhang in Tabelle IV dargestellt. Anstelle der kirchlichen Epakten wurde hier der Übersichtlichkeit halber allerdings die Gauß´sche Zahl "d", auch "Gauß´sche Epakte" genannt, verwendet. Die Korrelation beider Systeme zeigt die untere Tabelle.
Es gibt bei 30 Epakten insgesamt 30 Möglichkeiten. Jede Epakte, so auch Epakte XXV, der Gauß´schen Zahl 28 entsprechend, taucht 19 mal auf. Der Tabelle kann man nun entnehmen, daß die Gauß´schen Zahlen 28 und 29 immer dann und nur dann im gleichen Zyklus auftreten, wenn die Goldene Zahl bei der Gauß´schen Zahl 28 größer-gleich 12 ist. Die Goldene Zahl, die bei der Gauß´schen Zahl 29 steht, muß folglich immer kleiner-gleich 8 sein.

Korrelation der Gauss´schen Zahl "d" und der Epakte

               d      Epakte
  März  21.   0    XXIII
        22.   1    XXII
        23.   2    XXI
        24.   3    XX
        25.   4    XIX
        26.   5    XVIII
        27.   6    XVII
        28.   7    XVI
        29.   8    XV
        20.   9    XIV
        31.  10    XIII
  April  1.  11    XII
         2.  12    XI
         3.  13    X
         4.  14    IX
         5.  15    VIII
         6.  16    VII
         7.  17    VI
         8.  18    V
         9.  19    IV
        10.  20    III
        11.  21    II
        12.  22    I
        13.  23    *
        14.  24    XXIX
        15.  25    XXVIII
        16.  26    XXVII
        17.  27    XXVI
        18.  28    XXV
        19.  29    XXIV

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Tabelle V Osterdaten, neuer Stil, Zyklen, Epakten und Osterdatum

Die folgende Tabelle V zeigt nun sämtliche 30 nach dem neuen Stil möglichen Mondzirkel. Wie man sieht, wirkt diese Übersicht sehr regelmäßig. Lediglich am unteren Rand scheint sie "gestaucht" zu sein. Man kann deutlich erkennen, wo infolge der Ausnahmeregeln eine Zahl oder ein Zahlenpaar um eine Zeile nach oben rutscht.

Aus der Tabelle kann man auch ablesen, in welchem Jahrhundert welche Goldene Zahl auf welche Epakte fällt. So kann man, anhand der Goldenen Zahl und des Sonntagsbuchstabens den zyklischen Vollmondtag und das Osterdatum jeden beliebigen Jahres bestimmen. Wie dies bewerkstelligt werden kann, sie an einem Beispiel erläutert:

Zum Jahre 1993 gehört die Goldene Zahl 18. Der Sonntagsbuchstabe für den neuen Stil ist "c", für den alten Stil ist "d". Die für die Jahre 1900 bis 1999 geltenden Goldenen Zahlen finden sich in Spalte Nr. 24. Die Zahl "18" steht beim 7. April, an diesem Tag war also der zyklische Frühlingsvollmond. Der auf dieses Datum nächstfolgende Buchstabe "c" steht beim 11. April, an diesem Tag war Ostersonntag. Sucht man Ostern nach dem alten Stil, hat man in jedem Fall die Spalte Nr. 15, gekennzeichnet durch ein "x", zu benutzen. Hier findet sich bei der Goldenen Zahl 18 als Datum für den Frühlingsvollmond der 29. März. Das nächstfolgende Datum mit dem Sonntagsbuchstaben "d" ist der 5. April, dieser Tag war der Ostersonntag. (Datum diesmal natürlich nach dem alten Stil).

Wie man für jedes Jahr leicht die Goldene Zahl und den Sonntagsbuchstaben bestimmen kann, wird weiter unten erläutert.

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Tabelle VI: Osterdaten, neuer Stil, Zyklen, Epakten und Osterdatum

Tabelle VI ist nahezu identisch mit dem vorstehenden Überblick. Lediglich die letzten Zeilen wurden etwas abgeändert, um die Auswirkungen der Ausnahmeregeln noch einmal deutlich zu machen.

Als Beispiel seien wieder Spalte Nr. 22 und die beiden folgenden genommen:
Von 1500 - 1699 gehörte zur Goldenen Zahl 6 die Epakte XXVI, bei der der 14. Nisan auf den 17. April fällt. Bei Epakte XXIV, zur Goldenen Zahl 14 gehörig, fällt der 14. Nisan auf den 18. April. Epakte 25/XXV kommt nicht vor.
Von 1700 - 1899 fällt nun Epakte XXVI mit der Goldenen Zahl 17 zusammen. Der 14. Nisan fällt auf den 17. April. Zur Goldenen Zahl 6 gehört Epakte 25/XXV. Da der 17. April bereits belegt ist, muß der 14. Nisan auf den 18. April gelegt werden, Epakte XXIV kommt in diesem Zyklus nicht vor.
Von 1900 - 2199 gehört nun zu Epakte XXIV die Goldene Zahl 6. Der 14. Nisan fällt auf den 18. April. Die Goldene Zahl 17 steht bei Epakte 25/XXV. Da der 18. April bereits belegt ist, muß diesmal der 14. Nisan auf den 17. April gelegt werden. Epakte XXV kommt in diesem Zyklus nicht vor.

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Ermittlung der Goldenen Zahl und des Sonntagbuchstabens

Mit Hilfe der nachfolgenden Tabellen kann man sehr einfach für jedes beliebige Jahr die Goldene Zahl und den Sonntagsbuchstaben beziehungsweise die Konkurrente bestimmen. Früher waren derartige Tabellen sehr beliebt, konnte man doch zusammen mit einer der obenstehenden Tabellen ohne jedes weitere Werkzeug das Osterdatum eines jeden beliebigen Jahres nach dem alten oder dem neuen Stil bestimmen.

Bestimmung der Goldenen Zahl

Man ermittle aus den folgenden Tabellen A, B, C die entsprechende Zahl, addiere diese drei Zahlen und ziehe, sofern möglich, 19 von dem Ergebnis ab.

   Beispiel:     Jahr 2002
                        02     3   (Tabelle A)
                       0       0   (Tabelle B)
                      2        5   (Tabelle C)

                      Summe:   8   Das Jahr 2002 hat die Goldene Zahl 8

Bestimmung der Konkurrente und somit des Sonntagsbuchstabens

Hier suche man zuerst in Tabelle a das entsprechende Jahr und Jahrzehnt. Zu der hier gefundenen Zahl addiere man die aus Tabelle b bei dem entsprechenden Jahrhundert verzeichnete Zahl. Das Ergebnis ist die Konkurrente für das gesuchte Jahr.
Das Verhältnis von Konkurrente zum Sonntagsbuchstaben kann aus der untenstehenden Liste entnommen werden.
Für den neuen Stil addiere man die entsprechende Zahl aus Tabelle c.

Beispiel: Jahr 1993 93 1 (Tabelle a) 19 2 (Tabelle b) Summe: 3 Konkurrente 3, Sonntagsbuchstabe d (alter Stil) Für den neuen Stil addiere man die entsprechende Zahl aus Tabelle c: 3 + 1 = 4 Konkurrente 4, Sonntagsbuchstabe c (neuer Stil)

a.: Jahre und Jahrzehnte      0   1   2   3   4   5   6   7   8   9      0 4 5 6 7 2 3 4 5 7 1 0 10 2 3 4 6 7 1 3 4 5 6 10 20 1 2 3 4 6 7 1 2 4 5 20 30 6 7 2 3 4 5 7 2 3 4 30 40 5 6 7 1 3 4 5 6 1 2 40 50 3 4 6 7 1 2 4 5 6 7 50 60 2 3 4 5 7 1 2 3 5 6 60 70 7 1 3 4 5 6 1 2 3 4 70 80 6 7 1 2 4 5 6 7 2 3 80 90 4 5 7 1 2 3 5 6 7 1 90   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

b.: Jahrhunderzahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 u.s.w.     6 5 4 3 2 1 0

c.: Zusatzzahlen für neuen Stil (Jahrhundertzahlen) 0.: 2   8.: 3   16.: 4   24.: 5 1.: 1   9.: 2   17.: 3   25.: 4 2.: 0   10.: 1   18.: 2   26.: 3 3.: 6   11.: 0   19.: 1   27.: 2   4.: 6   12.: 0   20.: 1   28.: 2 5.: 5   13.: 6   21.: 0   29.: 1 6.: 4   14.: 5   22.: 6   30.: 0 7.: 3   15.: 4   23.: 5   31.: 6 u.s.w.

Verhältnis von Konkurrente und Sonntagsbuchstaben Datum am:    1.1.   24.3. 1 = f   Di   So 2 = e   Mi   Mo 3 = d   Do   Di 4 = c   Fr   Mi 5 = b   Sa   Do 6 = a   So   Fr 7 = g   Mo   Sa